Antecedentes Generales

Resumen

Esta asignatura es una introducción a la Teoría de la Probabilidad. Se desarrollan los fundamentos matemáticos necesarios para entender y modelar el comportamiento de sistemas sujetos a incertidumbre, y resolver problemas asociados.

Objetivos de Aprendizajes

Al cursar esta asignatura el alumno será capaz de:

• Entender cómo la aleatoriedad afecta el comportamiento de los sistemas.
• Conocer el lenguaje de la Teoría de la Probabilidad (ejemplo: experimento, espacio muestral, variable aleatoria, distribución de probabilidades).
• Comprender conceptos clave tales como distribución de probabilidades, esperanza, variabilidad, independencia, etc.
• Leer, escribir y comprender expresiones lógico-matemáticas que involucren los conceptos estudiados en el curso, utilizando la notación adecuada.
• Realizar cálculos fundamentales tales como probabilidades de eventos, valor esperado, varianza, probabilidades condicionales, etc., y resolver problemas que involucren estos conceptos
• Modelar sistemas/procesos estocásticos elementales.

Contenidos de Asignaturas

Unidad 1 : Introducción y Conceptos básicos (2 sesiones)

Se introduce la noción de incertidumbre, y se la formaliza en los conceptos de fenómeno y experimento aleatorio. Se define Teoría de la Probabilidad y se discute el rol de los modelos matemáticos en la representación de fenómenos y experimentos aleatorios. Se definen conceptos básicos. Se discute la relación entre incertidumbre/aleatoriedad e información. Se discute la relación entre Teoría de la Probabilidad y Estadística. Se describe el rol del curso en el contexto del programa de estudios de la carrera.

• Ejemplo introductorio
• Definición de fenómeno, experimento y modelo
• Fenómenos aleatorios v/s determinísticos
• Incertidumbre e información, ¿Fenómenos o modelos aleatorios?
• Definición de Teoría de la Probabilidad
• Teoría de la Probabilidad v/s Estadística
• Conceptos básicos: Espacio muestral, evento, partición, frecuencia relativa.
• Definición de probabilidad, axiomas y espacio de probabilidades.}

Unidad 2 : Espacios de probabilidad finitos y técnicas de conteo (3 sesiones)

Se establecen los principios y propiedades básicas para el cálculo de probabilidades de eventos en experimentos con espacios muestrales finitos. Se introduce el uso de técnicas de enumeración en el cálculo de probabilidades en espacios finitos equiprobables. En la ejercitación se enfatiza el uso combinado de técnicas de enumeración y propiedades de conjunto para la resolución de problemas de planteo relativamente complejos.

• Espacios de probabilidad finitos: Distribución de probabilidades y probabilidades de eventos
• Espacios de probabilidad finitos uniformes
• Técnicas de Enumeración: Principio de adición, principio de multiplicación, combinaciones, permutaciones

Unidad 3 : Probabilidad condicional e independencia de eventos (3 sesiones)

Se introducen los conceptos probabilidad condicional e independencia de eventos. Se establecen las propiedades que relacionan estos conceptos. Se discute la relación entre probabilidad condicional y el concepto de información. En la ejercitación se enfatiza la integración con las herramientas del Módulo 2.

• Definición de probabilidad condicional
• Interpretación del concepto de probabilidad condicional, el rol de la información
• Propiedades, Teorema de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes
• Independencia de eventos

Unidad 4 : Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad (4 sesiones)

Se introduce el concepto de variable aleatoria (v.a.) como una herramienta que permite extender el análisis matemático de un fenómeno o experimento aleatorio. Se distingue entre variables aleatorias discretas y continuas y se describen las distintas formas de representación del espacio de probabilidades en cada caso. Se extiende el análisis al caso de una función de una variable aleatoria.

• Definición de variable aleatoria
• Variables aleatorias discretas y la función de probabilidad puntual
• Variables aleatorias continuas y la función de densidad de probabilidades
• La función de distribución acumulada
• Funciones de variables aleatorias

Unidad 5 : Características de las variables aleatorias (4 sesiones)

Se definen los conceptos de valor esperado, varianza y otras medidas descriptivas de una v.a. Se discute en qué sentido estas medidas caracterizan la distribución de probabilidades de la v.a., su relación con el concepto de información, y su importancia en procesos de toma de decisiones.  Por otro lado se extiende el concepto de probabilidad condicional al de distribución condicional (por ejemplo, distribuciones truncadas). En la ejercitación se privilegia los problemas de modelamiento por sobre los puramente algebraicos.

• Valor esperado de una variable aleatoria
• Valor esperado de una función de variable aleatoria
• Varianza
• Desigualdad de Markov y Desigualdad de Chebyshev
• Otras medidas: Coeficiente de variación, percentiles, momentos, moda
• Distribuciones condicionales
• Valor esperado condicional y Teorema del Valor Esperado Total

Unidad 6 : Procesos estocásticos elementales y distribuciones de probabilidad de uso frecuente (5 sesiones)

Se describe y analiza el Proceso Bernoulli y el Proceso Poisson, y sus respectivas distribuciones asociadas. Se discute la relación entre estos procesos, sus propiedades matemáticas, y sus potenciales aplicaciones prácticas. En la ejercitación se enfatiza el modelamiento y se refuerza la aplicación de los conceptos de probabilidad, distribución y valor esperado condicional.

• Distribuciones Geométrica, Binomial y Pascal
• El Proceso Bernoulli
• Distribuciones Exponencial, Poisson y Erlang
• El proceso Poisson
• Superposición y separación de procesos Poisson}

Unidad 7 : La Distribución Normal y teoremas límite (3 sesiones)

Este capítulo puede entenderse como un breve preámbulo a la Inferencia Estadística. Se describe la Distribución Normal y sus propiedades matemáticas, y se discute su amplio rango de aplicaciones. Se introduce el concepto de muestra y media muestral. Se establece Ley de los Grandes Números y el Teorema del Límite Central, y se discute su importancia.

• La Distribución Normal
• La distribución Normal Estándar
• Aproximaciones de la Distribución Normal a otras distribuciones (Binomial, Poisson, etc.)
• Muestra y media muestral
• La Ley de los Grandes Números
• El Teorema del Límite Central
• Distribuciones derivadas de la normal: Chi-cuadrado, t-student, Fisher

Unidad 8 : Variables aleatorias multidimensionales (4 sesiones)

Se introduce el concepto de variable aleatoria multidimensional o vector aleatorio. Se extienden todos los conceptos, terminología y técnicas estudiadas en los capítulos anteriores a este caso. La exposición se centra mayoritariamente en el caso bidimensional.

• Variables aleatorias bidimensionales y distribuciones de probabilidad conjunta
• Variables aleatorias de tres o más dimensiones
• Funciones de variables aleatorias bidimensionales: probabilidades, distribución de probabilidades y valor esperado
• Distribuciones marginales, distribuciones condicionales y valor esperado condicional
• Independencia y correlación
• La suma de variables aleatorias independientes